题目

已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明; (3)当x∈[,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围. 答案：解:(1)因为f(x)在定义域R上是奇函数. 所以f(0)=0, 即=0, 所以b=1. 又由f(-1)=-f(1),即=-, 所以a=2, 检验知,当a=2,b=1时,原函数是奇函数. (2)f(x)在R上单调递减.证明: 由(1)知f(x)==-+, 任取x1,x2∈R,设x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=-=, 因为函数y=2x在R上是增函数, 且x1<x2, 所以-<0, 又(+1)(+1)>0, 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), 所以函数f(x)在R上单调递减. (3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x), 因为f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x, 即对一切x∈[,3]有k<恒成立, 设g(x)==()2-2·, 令t=,t∈[,2], 则有h(t)=t2-2t,t∈[,2], 所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1, 所以k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).

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