题目

已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量,满足|+|=|-|,设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. (Ⅰ)证明线段AB是圆C的直径；(Ⅱ)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值. 答案：(Ⅰ)证法一：∵｜+｜=｜-｜，∴(+)2=(-)2，∴-=0∴x1x2+y1y2=0.    设点M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则·=0.    即(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.整理得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.    故线段AB是圆C的直径.证法二：∵｜+｜=｜+｜，∴(+)2=(-)2，即·=0∴x1x2+y1y2=0,    若点M(x,y)在以线段为直径的圆上，则·=-1(x≠x1,x≠x2)去分母得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.    展开得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,    所以线段AB是圆C的直径.证法三：∵｜+｜=｜+｜，∴+=0,∴x1x2+y1y2=0,    以AB为直径的圆的方程是：(x-)2+(y-)2=［(x1-x2)2+(y1-y2)2］,    整理得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(Ⅱ)解法一：设圆C(x,y)，则∵=2px1,=2px2(p＞0).∴x1x2=,又x1x2+y1y2=0,∴x1x2=-y1y2,∴-y1y2=,∵x1x2≠0,∴y1y2≠0,∴y1y2=-4p2,∴x==(y21+)=(y21++2y1y2)-=(y2+2p2),    所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2,    设圆C到直线x-2y=0的距离为d,则d==,当y=p时，d有最小值;由题设得=,∴p=2.解法二：设圆C的圆心为C(x,y)，则,∵y21=2px1,=2px2,(p＞0)∴x1x2=,又∵x1x2+y1y2=0,∴x1x2=-y1y2.∵x1x2≠0,∴y1y2=-4p2,∵x==(+)=(++2y1y2)-=(y2+2p2),所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2,    设直线x-2y+m=0与x-2y=0的距离为,则m=±2,    因为x-2y+2=0与y2=px-2p2无公共点，    所以当x-2y-2=0与y2=px-2p2仅有一个公共点时，该点到x-2y=0的距离最小，最小值为,∴消去x得，y2-2py+2p2-2p=0有Δ=4p2-4(2p2-2p)=0.∵p＞0,∴p=2.解法三：设圆C的圆C(x,y)，则,若圆心C到直线x-2y=0的距离为d,那么d=,∵=2px1,=2px2(p＞0),∴x1x2=,又x1x2+y1y2=0,∴x1x2=-y1y2,∵x1x2≠0,∴y1y2=-4p2,∴d==，当y1+y2=2p时，d有最小值,由题意得=,∴p=2.

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