题目

如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求二面角E-AC-D的大小;(3)若F为线段BC的中点,求点D到平面PAF的距离. 答案：解法一:(1)证明:∵底面ABCD为正方形,∴BC⊥AB.又BC⊥PB,∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PA. 同理,CD⊥PA,∴PA⊥平面ABCD. (2)设M为AD中点,连结EM.又E为PD中点,可得EM∥PA,从而EM⊥底面ABCD.过M作AC的垂线MN,垂足为N,连结EN.由三垂线定理有EN⊥AC,∴∠ENM为二面角EACD的平面角. 在Rt△EMN中,可求得EM=1,MN=,∴tan∠ENM==. ∴二面角EACD的大小为arctan. (3)过D作AF的垂线DG,垂足为G,∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAF⊥平面ABCD.∴DG⊥平面PAF.∴DG为点D到平面PAF的距离. 由F为BC中点,可得AF=.又△ABF与△DGA相似,可得,∴DG=, 即点D到平面PAF的距离为. 解法二:(1)证明:同解法一.(2)建立如图的空间直角坐标系A—xyz, 则A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1).设m=(x,y,z)为平面AEC的一个法向量,则m⊥,m⊥.又=(0,1,1),=(2,2,0),∴令x=1,则y=-1,z=1,得m=(1,-1,1). 又=(0,0,2)是平面ACD的一个法向量, 设二面角E-AC-D的大小为θ,则cosθ=cos〈m,〉=.∴二面角E-AC-D的大小为arccos. (3)∵F为BC中点,∴F(2,1,0).设n=(a,b,c)为平面PAF的一个法向量,则n⊥,n⊥.又=(0,0,2),=(2,1,0),∴令a=1,则b=-2,c=0,得n=(1,-2,0). 又=(0,2,0),∴点D到平面PAF的距离=.

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