题目

如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=9,OC=15,将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA1B1C1.将矩形OA1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D. (Ⅰ)求点B2的坐标; (Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式; (Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠BPB1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.   答案：解:(Ⅰ)由条件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9, ∴在Rt△A1OB2中,OB2＝＝12, ∴点B2坐标为(12,0); (Ⅱ)B2C1=15－12=3,DC1=m,则B1D=9－m, ∵B1D=B2D, ∴＝9−m, 解得m=4, ∴D点的坐标为(15,4), 又∵A1(0,9), 设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx＋b(k≠0), ∴, 解得, 即折痕A1D所在直线的解析式为y＝−x＋9; (Ⅲ)假设存在P点, ∵∠BPA＋∠BPB1＋∠B1PC1=180°,∠BPB1=90°, ∴∠BPA＋∠B1PC1=90°, ∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°, ∴∠ABP=∠B1PC1. 在△BAP和△PC1B1中,, ∴△BAP∽△PC1B1. ∴, ∵AB=15,C1B1=9,AC1=24,设PC1的长为m, ∴, 解得m1=15或m2=9. 经检验m1=15或m2=9是方程的两根, 当PC1=15时,P点坐标为(0,0); 当PC1=9时,P点坐标为(6,0). 综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0).

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