题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且 OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）求直线AB的解析式； （2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值 范围）； （3）在点E从B向O运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不 能，请说明理由； （4）当DE经过点O时，请你直接写出t的值．   答案：解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得. ∴A（3，0），B（0，4）． 设直线AB的解析式为. ∴  解得      （2）如图，过点Q作QF⊥AO于点F. ∵ AQ = OP= t，∴． 由△AQF∽△ABO，得． ∴．∴． ∴， ∴． （3）四边形QBED能成为直角梯形．     ①如图，当DE∥QB时，    ∵DE⊥PQ， ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．     此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABO，得. ∴． 解得． ②如图，当PQ∥BO时， ∵DE⊥PQ， ∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABO，得 即． 解得．   （4）或．

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