题目

关于函数有如下四个结论： ①函数f（x）为定义域内的单调函数；   ②当ab＞0时，是函数f（x）的一个单调区间； ③当ab＞0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则； ④当ab＜0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则． 其中正确的结论有　　　　　　． 　 　 答案：②　． 【考点】对勾函数． 【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用． 【分析】先求导，再分类讨论，根据函数的单调性和最值得关系即可判断． 【解答】解：∵f（x）=ax+， ∴f′（x）=a﹣==， （1）当ab＜0时， 当a＞0，b＜0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）在[1，2]单调递增， ∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a， 当a＜0，b＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减， ∴f（x）在[1，2]单调递减， ∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a， （2）当ab＞0时， 令f′（x）=0，解得x=±， 当a＞0，b＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，0），（0，）单调递减， 当＜1时，即＜1时， ∴f（x）在[1，2]单调递增， ∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a， 当＞2时，即＞4时， ∴f（x）在[1，2]单调递减， ∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a， 当1≤≤2时，即1≤≤4时， ∴f（x）在[1，]单调递减，在（，2]上单调递增， ∴f（x）min=2=f（）=a•+=2，即b=， 当a＜0，b＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递减，在（﹣，0），（0，）单调递增， 当＜1时，即＜1时， ∴f（x）在[1，2]单调递减， ∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a， 当＞2时，即＞4时， ∴f（x）在[1，2]单调递增， ∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a， 当1≤≤2时，即1≤≤4时， ∴f（x）在[1，]单调递增，在（，2]上单调递减， ∵f（1）=a+b，f（2）=2a+， 当1≤≤2时，f（1）≥f（2），f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a， 当2＜≤4，f（1）≤f（2），f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a， 综上所述：②正确，①③④其余不正确 故答案为：② 【点评】本题考查了函数的单调性质和函数的最值得关系，关键是分类，属于中档题．

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