题目

如图，二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，连接BC、BD，设∠OCB=α，∠DBC=β，则cos（α﹣β）的值是(     ) A．      B．      C．   D． 答案：D【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】延长BD交y轴于P，根据三角形的外角的性质得到∠OPB=α﹣β，解方程﹣x2+x+3=0，求出点A的坐标和点B的坐标，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线BD的解析式，求出OP的长，根据勾股定理求出PB的长，根据余弦的概念解答即可． 【解答】解：延长BD交y轴于P， ∵∠OCB=α，∠DBC=β， ∴∠OPB=α﹣β， ﹣x2+x+3=0， 解得，x1=﹣1.2，x2=4， ∴点A的坐标为（﹣1.2，0），点B的坐标为（4，0）， x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3）， ∵点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为4， ∴点D的坐标为（2，4）， 设直线BD的解析式为：y=kx+b， 则， 解得，， ∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+8， ∴OP=8， PB==4， ∴cos（α﹣β）=cos∠OPB==， 故选：D． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法，正确运用一元二次方程的解法求出抛物线与x轴的交点是解题的关键，解答时，注意三角形的外角的性质的应用．

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