题目

如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由． 答案：【解答】解：过点H作HN⊥BM于N， 则∠HNC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°， ①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE， ∴△ADE≌△AFE， ∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE， ∴AF＝AB， 又∵AG＝AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF， ∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线； ②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°， 即∠GAH＝45°， ∵GH⊥AG， ∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°， ∴△AGH为等腰直角三角形， ∴AG＝GH， ∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°， ∴∠BAG＝∠NGH， 又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH， ∴△ABG≌△GNH（AAS）， ∴BG＝NH，AB＝GN， ∴BC＝GN， ∵BC﹣CG＝GN﹣CG， ∴BG＝CN， ∴CN＝HN， ∵∠DCM＝90°， ∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°， ∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°， ∴∠DCH＝∠NCH， ∴CH是∠DCN的平分线； ③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°， 由①知，∠AGB＝∠AGF， ∴∠HGN＝∠EGH， ∴GH是∠EGM的平分线； 综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线． 【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法．

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