题目

如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2、图3、图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8． 理解与作图： （1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH． 计算与猜想： （2）求图2、图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： （3）如图4，为了证明上述猜想，小明同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小明同学给我们的启发，再添加适当的辅助线证明（2）中的猜想． 答案：（1）解：作图如下： …………………………………………………………………………………………（2分） （2）解：在图2中，EF=FG=GH=HE= ∴EF=MF，EC=MC 同理：NH=EH，NB=EB ∴MN=2BC=16 ∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠N=90°﹣∠3 ∴∠M=∠N．∴GM=GN 过点G作GK⊥BC于K，则KM=MN=8 ∴ ∴四边形EFGH的周长为2GM=8………………………………………………（12分） 证法二：∵∠1=∠2，∠1=∠5 ∴∠2=∠5 而FC=FC ∴Rt△FCE≌Rt△FCM ∴EF=MF，EC=MC ∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠HEB=90°﹣∠4 而∠1=∠4 ∴∠M=∠HEB ∴HE∥GF 同理：GH∥EF ∴四边形EFGH是平行四边形 ∴FG=HE 而∠1=∠4 ∴Rt△FDG≌Rt△HBE ∴DG=BE 过点G作GK⊥BC于K，则KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8 ∴ ∴四边形EFGH的周长为2GM=8………………………………………………（12分）

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