题目

设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． 答案：(1) a＝－，b＝－.(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)由题，求出f(x)的导函数f′(x)，可知f′(1)＝f′(2)＝0，解出a，b的值即可； (2)由(1)可知导函数，再判别出x＝1，x＝2左右两边导函数的正负，即可判断出是极大值还是极小值. 【详解】(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知： f′(1)＝f′(2)＝0， ∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0， 解方程组得，a＝ ，b＝ . (2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x， 且函数f(x)＝ln xx2＋x的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝x－1x＋1＝ . 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0； 所以，x＝1是函数f(x)的极小值点， x＝2是函数f(x)的极大值点．

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