题目

已知函数f(x)＝在x＝0，x＝处存在极值。 （1）求实数a, b的值； （2）函数y＝f(x)的图象上存在两点A, B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围； （3）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx (k∈R)的实根个数。 答案：（1）当x＜1时，f ' (x)＝－3x2＋2ax＋b. 因为函数f(x)在x＝0, x＝处存在极值，所以 解得a＝1, b＝0.                                           …………(3分) （2）由（1）得 根据条件知A, B的横坐标互为相反数，不妨设A(－t, t3＋t2), B(t, f(t)(t＞0). … (4分) 若t＜1，则f(t)＝－t3＋t2, 由∠AOB是直角得·＝0，即－t2＋( t3＋t2)(－t3＋t2)＝0， 即t4－t2＋1＝0.此时无解；                                 …………(5分) 若t≥1，则f(t)＝c(et―1―1).由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角， 所以B点不可能在x轴上，即t≠1. 同理·＝0，  即－t2＋( t3＋t2)·c(et―1―1)＝0， 整理后得  .                             …………(7分) 因为函数y＝(t＋1)(et-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞), 所以实数c的取值范围是(0, ＋∞).                      …………(8分) （3）由方程f(x)＝kx, 知 因为0一定是方程的根，                              …………(9分) 所以仅就x≠0时进行研究： 方程等价于 构造函数                    …………(10分) 对于x＜1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝时取得最大值，其值域是(－∞, 0)∪(0, ]；     …………(11分) 对于x≥1部分，函数，由， 知函数g(x)在(1, ＋∞)上单调递增,则g(x)［0，+)      …………(13分) 所以, ①当k＞或k＜0时，方程f(x)＝kx有一个实根； ②当k＝或k＝0时，方程f(x)＝kx有两个实根； ③当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根。         …………(14分)

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