题目

设函数f(x)=|lgx|,若0＜a＜b,且f(a)＞f(b),求证：ab＜1. 答案：证法一：由已知∵0＜a＜b,f(a)＞f(b),∴a、b不能同时在区间［1，+∞)上.又由于0＜a＜b,故必有a∈(0,+∞).若b∈(0,1),显然有ab＜1;若b∈(1,+∞),由f(a)-f(b)＞0,有-lga-lgb＞0.∴lg(ab)＜0.∴ab＜1.证法二:由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|,上式等价于（lga）2＞(lgb)2,即(lga+lgb)(lga-lgb)＞0.∴lg(ab)·lg＞0.由已知b＞a＞0,∴＜1.∴lg＜0.∴lg(ab)＜0.∴0＜ab＜1.

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