题目

已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 答案：解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－由f′(x)<0得0<x<1，故f(x)的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意得g′(x)＝2x＋，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数． ①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0. ②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．

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