题目

已知二次函数y＝x2－x＋c. (1)若点A(－1，n)，B(2,2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值； (2)若点D(x1，y1)，E(x2，y2)，P(m，m)(m＞0)在抛物线y＝x2－x＋c上，且D，E两点关于坐标原点成中心对称，连接PO，当2≤PO≤＋2时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由. 答案：解：(1)法1：由题意得                                解得                                                       法2：∵抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝， 且－(－1) ＝2－，∴A，B两点关于对称轴对称. ∴n＝2n－1                                                          ∴n＝1，c＝－1.                                                     ∴有 y＝x2－x－1                                                   ＝(x－)2－. ∴二次函数y＝x2－x－1的最小值是－.                                (2)∵点P(m，m)(m＞0)， ∴PO＝m. ∴2≤m≤＋2. ∴2≤m≤1＋.                                                   法1：∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上， ∴m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m. ∵开口向下，且对称轴m＝1， ∴当2≤m≤1＋时， 有 －1≤c≤0.(6分) 法2：∵2≤m≤1＋， ∴1≤m－1≤. ∴1≤(m－1)2≤2. ∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上， ∴m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2. ∴1≤1－c≤2. ∴－1≤c≤0.                                                       ∵点D，E关于原点成中心对称， 法1：∴x2＝－x1，y2＝－y1. ∴ ∴2y1＝－2x1，y1＝－x1. 设直线DE：y＝kx. 有 －x1＝kx1. 由题意，存在x1≠x2. ∴存在x1，使x1≠0.                                                  ∴k＝－1. ∴直线DE：y＝－x.                                                法2：设直线DE：y＝kx. 则根据题意有 kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1)x＋c＝0. ∵－1≤c≤0， ∴(k＋1)2－4c≥0. ∴方程x2－(k＋1)x＋c＝0有实数根.                                     ∵x1＋x2＝0， ∴k＋1＝0. ∴k＝－1. ∴直线DE：y＝－x.                                                若  则有 x2＋c＋＝0. 即 x2＝－c－. ①当－c－＝0时，即c＝－时，方程x2＝－c－有相同的实数根， 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋有唯一交点；                     ②当－c－＞0时，即c＜－时，即－1≤c＜－时， 方程x2＝－c－有两个不同实数根， 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋有两个不同的交点；                ③当－c－＜0时，即c＞－时，即－＜c≤0时， 方程x2＝－c－没有实数根， 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋没有交点.                       

查看本题答案和解析