题目

已知数列{an}满足a1=，an+1=an+.求证：（1）2＜an＜3；（2）an+1－2＜（an－2）；（3）an－2＜（）2n－1. 答案：证明：（1）用数学归纳法证明.∵2＜a1=＜3，∴n=1时，不等式成立.假设当n=k时命题成立，即有2＜ak＜3.当n=k+1时，ak+1=ak+＞2=2（ak＞2）.又ak＜，＜1，∴ak+1=ak+＜1+＜3.∴2＜ak+1＜3.当n=k+1时，不等式成立.由上可知不等式2＜ak＜3对任意正整数都成立.（2）an+1－2=an+－2=（an－2）2.∵2＜an＜3，0＜an－2＜1，∴an+1－2＜＜= （an－2）.（3）由（2）知an－2＜（an－1－2）＜（）2（an－2－2）＜…＜（）n－1（a1－2）=（）n－1=（）2n－1，∴问题得证.

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