题目

已知：如图，M是线段BC的中点，BC=4，分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD，连接AD1.求证：四边形ABCD是等腰梯形2.将△MDC绕点M逆时针方向旋转α(60º<α<120º)，得到△MD´C´，MD´交AB于点E，MC´交AD于点F，连接EF．①求证：EF∥D´C´；②△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.  答案： 1.见解析2.存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB2+解析:(1) 等边△BAM、等边△MCD             ∴AB=AM=BM,CD=CM=DM,∠ABM=∠AMB=60º,∠DCM=∠DMC=60º               M是线段BC的中点               ∴MB=MC               ∴AM=DM, ∠AMD=60º              ∴ ∠DAM=60º              ∴AD∥BC                ∠B= ∠C             ∴ 四边形ABCD是等腰梯形          (2) ①∠EMA=α-60º,∠FMD=α-60º              ∴∠EMA=∠FMD             ∠BAM=∠ADM,AM=DM            ∴△AEM≌△DMF              ∴ME=MF              MD´= MC´              ∴EF∥D´C´          ②存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB，周长=1+1+=2+ 

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