题目

已知如图10-22，斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C. （Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； 答案：解：如图10-54，(Ⅰ)作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC. ∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠A1AD＝45°为所求. (Ⅱ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB. ∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，AB⊥BC，得ED∥BC又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，∴DE＝1，AD＝A1D＝，tg∠A1ED＝＝. 故∠A1ED＝60°为所求. (Ⅲ)作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1.∵B1B∥面A1ACC1， ∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离. 在Rt△ABC中，AB＝＝2，  ∴BF＝＝为所求.

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