题目

 如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上． （1）求证：AE=AB．    （2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．    答案：（1）解 ：由题意得△ADE≌△ADC， ∴∠AED=∠ACD，AE=AC ∵∠ABD=∠AED， ∴∠ABD=∠ACD ∴AB=AC ∴AE=AB （2）解 ：如图，过点A作AH⊥BE于点H ∵AB=AE，BE=2 ∴BH=EH=1 ∵∠ABE=∠AEB=ADB，cos∠ADB= ∴cos∠ABE=cos∠ADB= ∴ = ∴AC=AB=3 ∵∠BAC=90°，AC=AB ∴BC= 【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义   【解析】【分析】（1）由翻折的性质得出△ADE≌△ADC，根据全等三角形对应角相等，对应边相等得出∠AED=∠ACD，AE=AC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠AED，根据等量代换得出∠ABD=∠ACD，根据等角对等边得出AB=AC，从而得出结论； （2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的三线合一得出BH=EH=1，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出BH ∶AB = 1 ∶3,从而得出AC=AB=3，在Rt三角形ABC中，利用勾股定理得出BC的长。

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