题目

记数列{an}的前n项和为Tn，且{an}满足a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2）． （1）求a2、a3的值，并求数列{an}的通项公式an； （2）证明：Tn=． 答案：考点：数列递推式；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由已知依次令n=1和n=2，能求出a2、a3的值，再利用累加法能求出{an}的通项公式． （2）利用分级求和法结合等比数列前n项和公式能证明Tn=． 解答：  （1）解：∵{an}满足a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2）， ∴a2=3+a1=4， =13． an﹣an﹣1=3n﹣1， ∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1） =1+3+32+…+3n﹣1 = =． ∴数列{an}的通项公式an=． （2）证明：∵an=， ∴Tn=[（3﹣1）+（32﹣1）+（33﹣1）+…+（3n﹣1）] = =[] = =， ∴Tn=． 点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的证明，是中档题，解题时要注意累加法、分组求和法和等比数列的性质的合理运用．

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