题目

（09年西城区抽样理）（14分） 已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.（Ⅰ）设，若h (x)为偶函数，求；（Ⅱ）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；（Ⅲ）试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论. 答案：解析：（Ⅰ）解：设h(x) = m f(x)+ng(x)，则, 因为为一个二次函数，且为偶函数,所以二次函数的对称轴为y轴，即，所以，则，则；                                            ------------3分（Ⅱ）解：由题意, 设 (R, 且)     由h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数,     知存在使得,     所以函数,     则,                                     ------------5分消去, 得,    因为, 所以,                                ----------7分    因为b>0,     所以  （当且仅当时取等号）,    故a+b的最小值为.                                  -----------9分（Ⅲ）结论：函数h(x)不能为任意的一个二次函数.      以下给出证明过程.      证明：假设函数h(x)能为任意的一个二次函数,       那么存在m1, n1使得h(x)为二次函数y=x2, 记为, 即；            ①                                                                                                                          同理，存在m2, n2使得h(x)为二次函数,记为,即.                     ②        由②-①，得函数,      令，化简得对R恒成立,      即对R恒成立,      所以, 即，       显然，与矛盾,      所以，假设是错误的，故函数h(x)不能为任意的一个二次函数.                   ---------14分      注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例.

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