题目

已知数列{an}的前n项和，其中k为常数，a1，a4，a13成等比数列． （1）求k的值及数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：． 答案：【考点】数列的求和． 【分析】（1）由已知数列的前n项和求得an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a1，a4，a13成等比数列求得k，则通项公式可求； （2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列{bn}的前n项和为Tn，放缩可得． 【解答】（1）解：由，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2）， 又a1=S1=k+1， ∴an=2n+k﹣1． ∵a1，a4，a13成等比数列，∴， 即（2×4+k﹣1）2=（2×1+k﹣1）（2×13+k﹣1），解得k=2． ∴an=2n﹣1； （2）证明：∵ =． ∴． ∴Tn=b1+b2+…+bn= ==． 【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．

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