题目

19.设函数f（x）＝－ax，其中a>0. （Ⅰ）解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）求a的取值范围，使函数f（x）在区间[0,+）上是单调函数. 答案：19.本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力. 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤1即≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a>0.所以，原不等式等价于即                                   所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为｛x｜0≤x≤｝；当a≥1时，所给不等式的解集为｛x｜x≥0｝.                （Ⅱ）在区间［0，＋∞）上任取x1，x2，使得x1＜x2. f（x1）－f（x2）=－－a（x1－x2） 　　　　　　　＝－a（x1－x2）　　　　　　　                     ＝（x1－x2）       （ⅰ）当a≥1时，∵      ＜1，∴      －a＜0， 又      x1－x2<0， ∴          f（x1）－f（x2）>0，即          f（x1）>f（x2）.所以，当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数.        （ⅱ）当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在两点x1=0，x2=，满足f（x1）=1，f（x2）=1， 即f（x1）=f（x2），所以函数f（x）在区间［0，＋∞）上不是单调函数.综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.

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