题目

求证：在同一圆的内接矩形中，正方形的面积最大. 答案：思维分析：如果知道圆的半径R，内接矩形的两邻边长分别为x、y，矩形面积S=xy，就是要证x=y时S最大，由矩形、圆的性质可知，矩形的对角线就是圆的直径，把x、y的关系找出来，则y可用x表示，S是关于x的函数，则可求S的最大值.证明：设⊙O的半径为R，矩形ABCD的两邻边长分别为x、y.则矩形面积S=xy（0＜x,y＜2R）.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴A、O、C共线.∴AC=2R.∴x2+y2=（2R）2,y=（∵y＞0）.∴S=x.令S′=+x·==0.∴4R2-2x2=0.解得x1=-R（舍去），x2=R,∴y==R=x.又∵当x或y接近于0时，S接近于0；当x或y接近于2R时，S接近于0;∴当x=y=R时,Smax=2R2.∴矩形为正方形.∴同一圆的内接矩形中，正方形面积最大.温馨提示在求函数最值问题时，导数是有力的工具之一.

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