题目

在三棱锥A—BCD中,AC=AB=DC=DB=2,AD=BC=1,求该三棱锥的体积. 答案：思路分析:三棱锥的六条棱长都已知,且比较特殊,我们不难求得△ACB的面积,但点D在面ABC内的射影位置不明显,三棱锥的高比较难求.于是,我们以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴正半轴上,建立空间直角坐标系,问题便转化为求点D的坐标,而这不难用两点间的距离公式求解.解:以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴的正半轴上,建立空间直角坐标系,如图4-3-2.图4-3-2AC=AB=2,BC=1,易求得S△ABC=×1×.A(0,0,0),B(2,0,0),C(,0).设D(x,y,z).由DA=1得x2+y2+z2=1.①由DC=2,得(x-)2+(y-)2+z2=4.②由DB=2,得(x-2)2+y2+z2=4.③由①③,得-4x+4=3,x=.④将①④代入②,得1-y=4,y=.⑤将④⑤代入①,得+z2=1,∴z2=,z=.∴D点到平面ACB的距离为,三棱锥的体积为.  绿色通道:本题采用建立空间直角坐标系,将问题转化为求D点的坐标问题的方法,避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算.

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