题目

已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当有极大值与极小值时，求证函数在定义域内有唯一的零点. 答案：解: (1)= 令或  当即时,令,, 则在上单调递减,在上单调递增. 当即时,恒成立, 则在上单调递增. 当即时,令或,令, 则在和递增,在递减. 当即时,令或,令, 则在和递增,在递减. (2) 因为存在极大值与极小值,由(1)知或. 当时, 在和递增,在递减. 若,,无零点; 若,,有一个零点, 则当时, 有唯一零点. 当时, 则在和递增,在递减, 若, 由于,,则,即在无零点; 若,,即在有一个零点, 则当时, 则有唯一零点. 综上,原命题正确.

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