题目

（08年赤峰二中模拟理） 已知F1(- 2, 0), F2 (2, 0), 点P满足| PF1| - | PF2| = 2, 记点P的轨迹为E. (Ⅰ) 求轨迹E的方程；(Ⅱ) 若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点, ①无论直线l绕点F2怎样转动, 在x轴上总存在定点M(m, 0), 使MP ^ MQ恒成立, 求实数m的值;②过P、Q作直线x =的垂线PA、QB, 垂足分别为A、B, 记l =, 求l的取值范围. 答案：解析：(Ⅰ)由| PF1| - | PF2| = 2 < | F1F2| , 知点P的轨迹E是以F1, F2为焦点的双曲线右支,由c = 2, 2a = 2, 得b2 = 3, 故轨迹E的方程为x2 -= 1(x ³ 1).      (Ⅱ)当直线l的斜率存在时, 设直线方程为y = k(x - 2), P(x1, y1), Q(x2, y2), 由,   得: (k2 - 3)x2 - 4k2x + 4k2 + 3 = 0, ∴, 解得k2 > 3,                          ①   = (x1 - m)(x2 - m) +y1y2   = (k2 +1)x1x2 - (2k2 + m)(x1 + x2) + m2 + 4k2=+ m2,∵ MP ^ MQ, ∴= 0,故3(1 - m2) + k2(m2 - 4m -5) = 0对任意的k2 > 3恒成立,∴ , 解得m = - 1,∴ 当m = - 1时, MP ^ MQ,       当直线l的斜率不存在时, 由P(2, 3), Q(2, - 3)及M(- 1, 0), 知结论也成立,综上, 当m = - 1时, MP ^ MQ.                                    ② ∵ a = 1, c = 2,∴ 直线x =是双曲线右准线,由双曲线定义得 | PA | =| PF2 | =| PF2 | , | QB | =| QF2 |,∴∵ k2 > 3,∴ , 故,注意到直线l的斜率不存在时, |PQ| = |AB|, 此时l =.        综上, l Î .

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