题目

已知一张矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t 。 （1）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标； （2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m； （3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标。（直接写出结果即可） ①                                   ②     答案：解：（1）根据题意，有∠OBP = 90°，OB = 6， 在Rt△OBP中，由∠BOP = 30°，BP =t，得OP＝2t. ∵OP 2 ＝ OB 2+BP 2，即（2t）2 ＝62+t 2，解得t1＝，t2＝－（舍去）． ∴点P的坐标为（ ，6）． （2）∵△OB′P，△QC′P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的， ∴△OB′P ≌ △OBP，△QC′P ≌ △QCP. ∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC. ∵∠OPB′+∠OPB +∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB +∠QPC＝90°. ∵∠BOP +∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ. 又∵∠OBP＝∠C = 90°，∴△OBP∽△PCQ.∴. 由题意知，BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m． ∴∴（0＜t＜11）. （3）点P的坐标为（，6）或（，6）.

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