题目

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB． （1）求证：CE=CB； （2）若AC=2，CE=，求AE的长． 答案：【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论； （2）AE=AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE==1，故AE=AD﹣ED=3． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠1=∠3． 又OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴CE=CB； （2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=2，CB=CE=， ∴AB===5． ∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2， ∴△ADC∽△ACB， ∴==，即==， ∴AD=4，DC=2． 在直角△DCE中，DE==1， ∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．

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