题目

20.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M. （Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小. 答案：20.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想能力和推理运算能力. 解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=.∵CB=CA1=,∴△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B.∵A1C1=1,C1B1=,∴A1B1=.又BB1＝1，∴A1B＝2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，∴CD=A1B=1,CD=CC1.又DM=AC1=,DM=C1M,∴△CDM≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG∥CD，FG=CD.∴FG=,FG⊥BD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，知BD=B1D=A1B=1，所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD,B1G=.∴∠B1GF是所求二面角的平面角.又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=,∴cosB1GF===－.即所求二面角的大小为－arccos.解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（Ⅰ）B（,0,0）,B1（,1,0）,A1（0,1,1）,D（,,）,M（,1,0）,=（,,）,=（,－1,－1）,=（0,,－）,则·=0, ·=0,∴CD⊥A1B,CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（,,）,=（－,,）,=（－,－,）,∴·=0.∴BD⊥B1G.又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角.cosθ==－.所以所求二面角的大小等于－arccos.

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