题目

已知直线l过点P(-1,1),倾斜角为θ,与抛物线y2=-8x交于A、B两点.(1)求|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程;(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程;(3)若线段AB被P(-1,1)三等分,求l的方程. 答案：解析:由于题目所求部分有明确几何意义,可考虑用直线的参数方程.解:设直线l的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程并整理得t2sin2α+2tsinα+8tcosα-7=0.∵Δ=(2sinα+8cosα)2+28sin2α=48+8sin(2α+)＞0,∴它的两根t1、t2为AB对应的参数值.(1)|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=(α≠kπ,否则直线与抛物线只有一个交点)当sinα=±1时,|PA||PB|有最小值7,此时直线方程为x=-1.(2)若P为中点,则t1+t2=0,∴=0.∴k=tanα=-4.直线l的方程为4x+y+3=0.(3)为AB的三等分点,不妨设|PA|=2|PB|,即t1=-2t2,∴t1+t2=-t2,t1t2=-2t22.∴-2(t1+t2)2=t1t2.由韦达定理知=-2·,整理得(3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.∴k1=tanα1=-,k2=tanα2=-8.故所求直线l的方程为8x+3y+5=0或8x+y+7=0.

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