题目

已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a＞0和任何实数x,都有f(ax)=af(x).(1)证明f(0)=0;(2)证明其中k和h均为常数;(3)当(2)中的k＞0时,设g(x)=+f(x)(x＞0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值. 答案：证明:(1)令x=0,则f(0)=af(0),∵a＞0,∴f(0)=0.(2)①令x=a,∵a＞0,∴x＞0,则f(x2)=xf(x).假设x≥0时,f(x)=kx(k∈R),则f(x2)=kx2,而xf(x)=x·kx=kx2,∴f(x2)=xf(x),即f(x)=kx成立.②令x=-a,∵a＞0,∴x＜0,f(-x2)=-xf(x).假设x＜0时,f(x)=hx(h∈R),则f(-x2)=-hx2,而-xf(x)=-x·hx=-hx2,∴f(-x2)=-xf(x),即f(x)=hx成立.∴f(x)=成立.(3)当x＞0时,g(x)=+kx,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=1或x=-1;当x∈(0,1)时,g′(x)＜0,∴g(x)是单调递减函数;当x∈［1,+∞)时,g′(x)＞0,∴g(x)是单调递增函数.∴当x=1时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为g(1)=+k.

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