题目

长度为(>0)的线段AB的两个端点A、B分别在轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且满足(A为常数，且)． (1)求点P的轨迹方程C； (2)当时，过点M(1，0)作两条互相垂直的直线和，和分别与曲线C相交于点N和Q(N、Q都异于点M)，试问△MNQ能不能是等腰三角形?若能，请说明这样的三角形有几个；若不能，请说明理由． 答案： 解：(1)依题意，设点A、B的坐标分别为(，0)、(0，)，点P的坐标为()．     由，得)                                =()．     ∴  即 ∵|AB|=，∴． ∴， ∴点P的轨迹方程C是． (2)当时，曲线C的方程是，故点M(1，0)在曲线C上． 依题意，可知直线和都不可能与坐标轴平行，可设直线方程为， 直线方程为，不妨设． 由消去y得     ． 由，又，得，     ∴            =            =．     同理可得                  =．     假设△MNQ是等腰三角形，则|MN|=|MQ|，     即， 化简得， ∴或    ① ①式的判别式△=， 若△=，解得，此时①式无解； 若△==0，解得，由①式得=1； 若△=>0，解得，由①式得     (可以验证≠1且>0)． 综上所述，△MNQ可以是等腰三角形，当0<≤时，这样的三角形有一个； 当时，这样的三角形有三个．

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