题目

古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，如他们研究各种多边形数：记第n个k边形数N(n，k)＝n2＋n(n≥1，k≥3，k、n都为整数)， 如第1个三角形数N(1，3)＝×12＋×1＝1； 第2个三角形数N(2，3)＝×22＋×2＝3； 第3个四边形数N(3，4)＝×32＋×3＝9； 第4个四边形数N(4，4)＝×42＋×4＝16. (1)N(5，3)＝________，N(6，5)＝________； (2)若N(m，6)比N(m＋2，4)大10，求m的值； (3)若记y＝N(6，t)－N(t，5)，试求出y的最大值． 答案：．解：(1)15；51.       （4分） 根据题意得，N(5，3)＝×52＋×5＝＋＝15； N(6，5)＝×62＋×6＝54－3＝51. (2)由题意得， m2＋m＝(m＋2)2＋(m＋2)＋10，（6分） 化简得m2－5m－14＝0，       解方程得，m＝7或m＝－2(不合题意，舍去)， 故m＝7.                                     （8分） (3)由题意得， y＝×62＋×6－t2－t＝－t2＋t－24，（10分） 整理得y＝－(t－)2＋， ∵a＝－<0，且t是整数，∴当t＝5时，y有最大值，其最大值为16.  （12分）

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