题目

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为点M，N．求证：AP=MN． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=MN，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解． 【解答】解：连接PC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC， 又∵PN⊥DC，PM⊥BC， ∴∠PMC=90°，∠PNC=90°， ∴四边形PMCN为矩形， ∴PC=MN， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴AP=PC， ∴AP=MN． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．

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