题目

已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点． （1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是                    三角形； （2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答： 问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论； 问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论. 我选择问题        ，结论：                            . 证明： 答案： (1)等腰直角 (2)问题一：△PEF是等腰直角三角形 证明：连接PA、PB ∵AB是直径，∴∠AQB＝∠EQF＝90° ∴EF是⊙O′的直径，∴∠EPF＝90° 在△APE和△BPF中：∵PA＝PB，∠PBF＝∠PAE ∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，∴△APE≌△BPF ∴PE=PF，∴△PEF是等腰直角三角形 问题二：AE=BF 证明：(如图丙所示)连结AP、BP 则有：∠PAE=∠PBF，∠PEA=∠PFB， 又∵P为AB弧的中点，∴AP=BP ∴△APE≌△BPF(AAS) ∴AE=BF

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