题目

已知数列{an}满足an=2an-1+2n+2(n≥2),a1=2.(1)求a2,a3,a4;(2)是否存在一个实数λ,使得数列{}成等差数列,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由;(3)设Sn为数列{an}的前n项和,证明Sn＞n3+n2. 答案：解:(1)a2=4+4+2=10,a3=20+8+2=30,a4=60+16+2=78.(2)假设存在一个实数λ,使得数列{}成等差数列,则==1+恒为常数, ∴2-λ=0,即λ=2.而+=1,∴λ=2时数列{}为等差数列. (3)解法一:=+(n-1)=n+1,∴an=(n+1)2n-2.Sn=2·2+3·22+4·23+…+(n+1)2n-2n,2Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)2n+1-4n.两式相减得-Sn=2·2+22+23+…+2n-(n+1)2n+1+2n=-n·2n+1+2n.∴Sn=n·2n+1-2n=2n(2n-1)=2n［(1+1)n-1］=2n(1+n++…-1)≥n3+n2. 解法二:用数学归纳法也可.

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