题目

设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：. （Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为. 答案：（Ⅰ）解：由等比数列的，， 得，，，且当时，.                     所以，，，且当时，.               即                                        （Ⅱ）证明：因为 ， 所以 ，.             因为 ， 所以 ，.                         由 ，得 .                                       因为 ，      所以 ，      所以 ，即 .                      （Ⅲ）证明：（充分性）因为 ，，  所以 ，  所以  对一切正整数n都成立.                    因为 ，， 所以 .                                               （必要性）因为对于任意的，， 当时，由，得； 当时，由，，得. 所以对一切正整数n都有.                              由 ，，得对一切正整数n都有，          所以公比为正有理数.                                假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1. 因为是一个有限整数， 所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除. 又因为，且与的最大公约数为1. 所以，这与（）矛盾. 所以. 因此，.                                       

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