题目

如图，ABCD是正方形，BE∥AC，AE=AC，CF∥AE，求证：∠AEB=2∠BCF。 答案：【答案】证明：连接BD交AC于O，过点A作AH⊥BE于H。 ∵BE∥AC，AH⊥BE ∴AH⊥AC 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴AH∥OB  ， AO=BO，AO⊥BO ∴四边形AOBH正方形 ∴AH=AO= ∵AE=AC， ∴AH= ∴∠AEH=30°， 又∵BE//AC，AE//CF， ∴四边形ACFE是菱形， ∴∠ACF=∠AEH=30°， ∵AC是正方形的对角线，∴∠ACB=45°， ∴∠BCF=15°，∴∠AEB=2∠BCF。 【解析】 试题分析：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质．通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题。 由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=1/2AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°． 证明：连接BD交AC于O，过点A作AH⊥BE于H。 ∵BE∥AC，AH⊥BE ∴AH⊥AC 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴AH∥OB  ， AO=BO，AO⊥BO ∴四边形AOBH正方形 ∴AH=AO= ∵AE=AC， ∴AH= ∴∠AEH=30°， 又∵BE//AC，AE//CF， ∴四边形ACFE是菱形， ∴∠ACF=∠AEH=30°， ∵AC是正方形的对角线，∴∠ACB=45°， ∴∠BCF=15°，∴∠AEB=2∠BCF。 【难度】较难

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