题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值： x … ﹣2 0 4 8 10 … y … 0 5 9 5 0 … （1）求出这条抛物线的解析式； （2）求正方形DEFG的边长； （3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．   答案：解：（1）由图表可得：抛物线的顶点坐标为：（4，9）， 设函数解析式为：y=a（x﹣4）2+9（a≠0）， 把点（0，5）代入y=a（x﹣4）2+9， 解得：a=﹣． ∴函数解析式为：y=﹣（x﹣4）2+9； （2）设正方形DEFG的边长为m， ∵AK⊥x轴， ∴∠AKC=90°， ∵∠DEF=∠EFG=90°， ∴四边形HEFK为矩形， ∴HK=EF=m， ∵点A在抛物线y=﹣（x﹣4）2+9上，横坐标为2， ∴y=﹣（x﹣4）2+9=8， ∴点A的坐标为：（2，8）， ∴AK=8，∴AH=AK﹣HK=8﹣m， 由题意可得：B（﹣2，0），C（10，0）， ∴BC=12， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴m=﹣， ∴正方形的边长为：； （3）存在， 理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线l：x=4， 设点A关于直线l：x=4对称点为A′，A′点的坐标为：（6，8）， ∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b， ∴， 解得：， ∴AB所在直线解析式为：y=2x+4， ∵D在直线AB上，DG=， ∴点D的纵坐标为：， 由2x+4=， 解得：x=， ∴点D的坐标为：（，）， 设点D关于x轴对称点为D′，则D′（，﹣）， 连接A′D′交对称轴于点P，交x轴于点Q，连接AP，DQ， 则四边形ADQP的周长最小， 设直线A′D′的解析式为：y=k′x+b′， ∴， 解得：， ∴直线A′D′的解析式为：y=x﹣， 当x=4时，y=×4﹣=，∴P（4，）， 当y=0时，x=， ∴Q点坐标为：（，0）．  

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