题目

如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45° （1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．答案：解：（1）∵=， ∴∠ACB=∠ADB=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠BAD=90°， ∴BD是△ABD外接圆的直径；（2）在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA， ∵∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵∠ADE+∠ADC=180°， ∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADE，在△ABC与△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE=90°， ∵= ∴∠ACD=∠ABD=45°， ∴△CAE是等腰直角三角形， ∴AC=CE， ∴AC=CD+DE=CD+BC；（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，由对称性可知：∠AMB=ACB=45°， ∴∠FMA=45°， ∴△AMF是等腰直角三角形， ∴AM=AF，MF=AM， ∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB， ∴∠FAB=∠MAD，在△ABF与△ADM中，， ∴△ABF≌△ADM（SAS）， ∴BF=DM，在Rt△BMF中， ∵BM2+MF2=BF2， ∴BM2+2AM2=DM2．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．　

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