题目

设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0. (1)证明:{an}是等差数列. (2)证明:以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围. 答案：(1)证明略 (2)证明略(3)r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) 解析:  由条件，得a1=S1=a,当n≥2时， 有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b. 因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b. 所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列. (2)证明:∵b≠0,对于n≥2,有 ∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以为斜率的直线上。  此直线方程为y－(a－1)=  (x－a),即x－2y+a－2=0. (3)解: 当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是                      由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜－或r＞+ 由不等式③，得r＜4－或r＞4+ 再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+ 故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).

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