题目

（本小题满分12分） 已知数列中，，，其前项和为，且当时，． （Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）令，记数列的前项和为，证明对于任意的正整数，都有成立． 答案：（Ⅰ）证明：当时，，      所以．      又由，可推知对一切正整数均有，      ∴数列是等比数列．                                     ……… ３分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为4，            ∴． 当时，， 又， ∴                                 ………６分      （Ⅲ）证明：当时，，此时                          ，            又，            ∴．                       ………８分            ，            当时，＝    ．                                  ……… 1１分 又因为对任意的正整数都有所以单调递增，即， 所以对于任意的正整数，都有成立．　　　　　　……… １２分

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