题目

设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn＞0(n=1,2,…).(1)求q的取值范围;(2)设bn=an+2-an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn和Tn的大小. 答案：解：(1)因为{an}是等比数列,Sn＞0, 可得a1=S1＞0,q≠0.当q=1时,Sn=na1＞0;当q≠1时,Sn=＞0,即＞0(n=1,2,…).上式等价于不等式组(n=1,2,…)        ①或(n=1,2,…).                              ②解①式得q＞1;解②,由于n可为奇数,可为偶数,得-1＜q＜1.综上,q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).(2)由bn=an+2-a n+1,得bn=an(q2-q),Tn=(q2-q)Sn.于是Tn-Sn=Sn(q2-q-1)=Sn(q+)(q-2).又因为Sn＞0,且-1＜q＜0或q＞0,所以,当-1＜q＜-或q＞2时,Tn-Sn＞0,即Tn＞Sn;当-＜q＜2且q≠0时,Tn-Sn＜0,即Tn＜Sn;当q=-或q=2时,Tn-Sn=0,即Tn=Sn.

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