题目

如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为　　　　　　． 答案：　y=2x　． 【考点】相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】数形结合． 【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答． 【解答】解：设OC=a， ∵点D在y=上， ∴CD=， ∵△OCD∽△ACO， ∴=， ∴AC==， ∴点A（a，）， ∵点B是OA的中点， ∴点B的坐标为（，）， ∵点B在反比例函数图象上， ∴=， ∴=2k2， ∴a4=4k2， 解得，a2=2k， ∴点B的坐标为（，a）， 设直线OA的解析式为y=mx， 则m•=a， 解得m=2， 所以，直线OA的解析式为y=2x． 故答案为：y=2x． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点． 　

查看本题答案和解析