题目

已知三个点A（2，1），B（3，2），D（-1，4），（1）求证：AB⊥AD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值. 答案：（1）证明：∵A（2，1），B（3，2），D（-1，4），∴=（1，1），=（-3，3）.又∵·=1×（-3）+1×3=0，∴⊥，即AB⊥AD.（2）解：⊥，四边形ABCD为矩形，∴=.设C点坐标为（x，y），则由=（1，1），=（x+1，y-4）.∴解得∴C点坐标为（0，5）.从而=（-2，4），=（-4，2），且||=，||=.·=8+8=16，设与夹角为θ，则cosθ=，所以求得矩形两条对角线所成的锐角的余弦值为.

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