题目

（文）若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且f(x)极小值＝f(－)＝－． （1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值； （3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围． 答案：f(x)＝－x3＋x f(x)max＝, 解析: 解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0， 　∴f /(x)＝3ax2＋c，则 　故f(x)＝－x3＋x；………………………………4分 （2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－) f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是 增函数，在[－，]上是减函数， 由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　如图所示， 　　　 当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0； 当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m， 当m≥时，f(x)max＝f()＝ ． 　　　　故f(x)max＝．………………9分 故实数k的取值范围是(0， ] （3）g(x)＝－x，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2. g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－＝＋xy－, 又令t＝xy，则0＜t≤k2，＋t ＋2，t∈(0，k2] 则原命题转化为在t∈(0，k2]上恒成立, 当1－4k2≤0时，当, F(t)无最小值，不合 　　 当1－4k2＞0时，F(t)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增， 　　　 且F(k2)＝(－k)2，∴要F(t )≥(－k)2恒成立， 　　　　必须

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