题目

  已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．1.（1）求B、C两点的坐标；2.（2）求直线CD的函数解析式；3.（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？   答案： 1.解：（1）∵A（2，0），∴OA=2．作BG⊥OA于G，∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG=，∴B（1，）． ………………………………1分连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．，∴OC=．   ∴C（0，）． …………………………………2分 2.（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径，又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD=．∴D（，0）．设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得  ∴直线CD的解析式为y=．…4分 3.（3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，∴四边形ABCD的周长6+．设AE=t，△AEF的面积为S，则AF=3+－t，S=（3+）．∵S=（3+）=．∵点E、F分别在线段AB、AD上，∴    ∴…………………………6分∴当t=时，S最大=．…………8分  解析:略 

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