题目

已知以点 (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点． (1)求证：△OAB的面积为定值； (2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程． 答案： ∵圆C过原点O，∴r2＝t2＋． 设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋， 令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0， 得x1＝0，x2＝2t． ∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4， 即△OAB的面积为定值． (2)解　∵OM＝ON，CM＝CN， ∴OC垂直平分线段MN． ∵kMN＝－2，∴kOC＝． ∴直线OC的方程是y＝x． ∴＝t．解得t＝2或t＝－2． 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝， 此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<， 圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点． 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝， 此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>， 圆C与直线y＝－2x＋4不相交， ∴t＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

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