题目

.图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒． （1）求四边形ABCD的面积； （2）当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由； （3）连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，请说明理由． 答案： 解：（1）∵∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8， ∴CD=4，AC=4． 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD的面积为4×4=16． （2）如图1，当∠EMC=90°时，四边形DCEF是菱形． ∵∠EMC=∠ACD=90°， ∴DC∥EF． ∵BC∥AD， ∴四边形DCEF是平行四边形，∠BCA=∠DAC ．由（1）可知：CD=4，AC=4． ∵点M为AC的中点， ∴CM=2． 在Rt△EMC中，∠CME=90°，∠BCA=30°． ∴CE=2ME，可得ME2+（2）2=（2ME）2， 解得：ME=2． ∴CE=2ME=4． ∴CE=DC． 又∵四边形DCEF是平行四边形， ∴四边形DCEF是菱形． （3）点E在运动过程中能使△BEM为等腰三角形． 理由：如图2，过点B作BG⊥AD与点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接DM． ∵DC∥AB，∠ACD=90°， ∴∠CAB=90°． ∴∠BAG=180°﹣30°﹣90°=60°． ∴∠ABG=30°． ∴AG==2，BG=2． ∵点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒， ∴CE=t，BE=8﹣t． 在△CEM和△AFM中， ∴△CEM≌△AFM． ∴ME=MF，CE=AF=t． ∴HF=HG﹣AF﹣AG=BE﹣AF﹣AG=8﹣t﹣2﹣t=6﹣2t． ∵EH=BG=2， ∴在Rt△EHF中，ME===． ∵M为平行四边形ABCD对角线AC的中点， ∴D，M，B共线，且DM=BM． ∵在Rt△DBG中，DG=AD+AG=10，BG=2， ∴BM==2． 要使△BEM为等腰三角形，应分以下三种情况： 当EB=EM时，有， 解得：t=5.2． 当EB=BM时，有8﹣t=2， 解得：t=8﹣2． 当EM=BM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形． 综上所述，当t=5.2或t=8﹣2时，△BEM为等腰三角形．

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