题目

函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）. （1）若在上存在极值，求实数的取值范围； （2）求证：当时，. 答案：【解析】（1）；（2）见解析  解析：（1）∵    由已知  ∴   得             ………2分   ∴   当为增函数；   当时，，为减函数。  ∴是函数的极大值点                              ………4分  又在上存在极值   ∴    即    故实数的取值范围是                               ………5分 （2）    即为                       ………6分    令     则    再令   则    ∵   ∴   ∴ 在上是增函数    ∴   ∴    ∴在上是增函数   ∴时，   故            ………9分 令 则 ∵   ∴  ∴  即上是减函数 ∴时，                         ………11分 所以，  即          ………12分 【思路点拨】(1)先求导得，利用单调性判断出是函数的极大值点，所以有，解不等式组即可；（2）先转化为， 令，再求导结合单调性证明。

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